poniedziałek, 12 listopada 2012

Zmienne losowe

POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ
Natura zdarzeń elementarnych może być różnoraka. Żeby się od tego uwolnić przyporządkujmy każdemu zdarzeniu elementarnemu w przestrzeni Ω pewną liczbę rzeczywistą. Np. wyrzuceniu orła w rzucaniu monety można przyporządkować liczbę 1, a wyrzuceniu reszki liczbę 0; w rzucaniu sześcienną kostką do gry naturalne jest przyporządkowanie zdarzeniom elementarnym tych liczb, które one oznaczają. Oczywiście w rozpatrywanych przykładach prawdopodobieństwo pojawienia się odpowiedniego zdarzenia losowego jest równe prawdopodobieństwu pojawienia się przyporządkowanej mu liczby (wszystko sie zgadza tak długo jak Ω jest przeliczalna).
\Omega \rightarrow R^1
Chcielibyśmy jednak, żeby w ogólności (także dla Ω nieprzeliczalnych) było określone prawdopodobieństwo przyjmowania przez wyżej stworzoną funkcję wartości z dostatecznie obszernej klasy podzbiorów prostych. Wiemy, że klasę taką stanowi σ-algebra zbiorów borelowskich (w tym wypadku w R1).
Żeby sobie to zapewnić zażądamy by przeciwobrazy zbiorów borelowskich w R1 otrzymane za pomocą tej funkcji były zdarzeniami losowymi czyli elementami σ-algebry \mathcal{A}.
Prowadzi to do następujących definicji:

Definicja 
Niech będzie dana przestrzeń probabilistyczna (\Omega, \mathcal{A}, P). Zmienną losową (rzeczywistą) nazywamy funkcję rzeczywistą X określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω i taką, że przeciwobrazy zbiorów borelowskich w R1 (na prostej) są zdarzeniami losowymi.
Wystarczy wymagać by przeciwobrazy przedziałów w postaci (-\infty, x), x \in R^1 były zdarzeniami losowymi (gdyż, jak łatwo wykazać, każdy zbiór borelowski na prostej można otrzymać za pomocą przeliczalnej liczby działań na takich przedziałach).
Inaczej mówiąc zmienna losowa to funkcja:
X:\Omega \rightarrow R^1 taka, że \bigwedge_x X^{-1} [(-\infty, x)] = \left \{ \omega : X(\omega) < x \right \} \in \mathcal{A}
Innymi słowy (porównaj def. funkcji mierzalnej) zmienna losowa to funkcja rzeczywista określona na przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω mierzalna względem miary probabilistycznej P (czyli względem prawdopodobieństwa) lub krócej: to mierzalna względem P transformacja przestrzeni zdarzeń elementarnych w prostej.
Przechodząc do pojęcia rozkładu prawdopodobieństwa zauważmy, że zmienna losowa X w naturalny sposób generuje w R1σ-algebrę \mathcal{A}_x zbiorów borelowskich S, dla których X^{-1}(S) = \{ \omega : X(\omega) \in S \} \in \mathcal{A} . Generuje ona również prawdopodobieństwo określone na elementach tej σ-algebry P_x(S), S \in \mathcal(A)_x , zwane prawdopodobieństwem indukowanym i dane wzorem:
P_x(S)=P \{ \omega : X (\omega) \in S \}.
Otrzymujemy zatem definicję tego rozkładu.
Definicja 
Rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X nazywamy prawdopodobieństwo indukowane, czyli funkcję zbioru daną wzorem: P_x (S) = P[X^{-1}(S)]=P\{\omega : X(\omega)\in S\}, gdzie S jest dowolnym zbiorem borelowskim w R^1 (S\in\mathcal{A}_x). Oczywiście Px(R1) = P(Ω) = 1.
Uwaga:
  1. Często rozkład prawdopodobieństwa mógłby być zdefiniowany tylko na pewnym podbiorze R1, gdyż zmienna losowa X odwzorowuje Ω w podzbiór R1. Tak jednak zwykle się nie robi, natomiast dla jednolitości uzupełnia się ten podzbiór do całej prostej traktując to uzupełnienie jako zdarzenie o prawdopodobieństwie równym 0.
  2. Zmienne losowe będziemy oznaczali dużymi literami X(\omega), Y(\omega), \dots lub krótko X, Y, \dots a ich wartości (realizacje), o ile to możliwe, odpowiednio jako x, y, \dots.
Jak widać rozkłady prawdopodobieństwa są funkcjami zbioru i jako takie nie mogą być badane za pomocą aparatu klasycznej analizy rozwiniętego jako funkcji punktu.
Powstaje zatem naturalne pytanie o istnienie funkcji punktu w sposób jedno-jednoznaczny odpowiadający rozkładom prawdopodobieństw. W ogólnej teorii miary jest to tzw. problem dystrybuanty miary. Odpowiedź na to pytanie jest pozytywna, a odpowiednie funkcje nazywają się dystrybuantami.
Zdefiniujmy następującą funkcję rzeczywistą
F(x)=P_x[(-\infty,x)]=P[X^{-1}(-\infty,x)]=P\left\{\omega : X(\omega) \in (-\infty,x) \right \} = P(X < x)
Łatwo wykazać, że funkcja F(x) ma następujące własnośći.
  1. jest nieujemna, czyli F(x) \ge 0 i niemalejąca \bigwedge_{x_1,x_2} (x_1 < x_2) \Rightarrow [ F(x_1) \le F(x_2) ]
  2. F(-\infty)=0, \quad F(+\infty)=1
  3. jest co najmniej lewostronnie ciągła, czyli dla dowolnego ciągu x_1 < x_2 < \dots < x zbieżnego do x \lim_{k \to \infty} F(x_k) = F(x)
Można wykazać następujące twierdzenie.
Tw. 
Na to, by funkcja rzeczywista F(x) była dystrybuantą zmiennej X potrzeba i wystarcza by miała własności od 1 do 3.
Z twierdzenia tego wynika, że wzór F(x) = P(X < x) definiuje dystrybuantę zmiennej losowej X, a zatem funkcję punktu, która jedno-jednoznacznie odpowiada jej rozkładowi prawdopodobieństwa.
Z własności 3. dystrybuanty wynika, że zbiór punktów nieciągłości dystrybuanty jest co najwyżej przeliczalny.


TYPY ZMIENNYCH LOSOWYCH
Poniżej definiujemy dwa główne typy zmiennych losowych:
Definicja
Zmienną losową X nazywamy zmienną losową typu skokowego lub inaczej (zmienną losową dyskretną), jeśli może przyjmować co najwyżej przeliczalną liczbę wartości, które nazywamy punktami skokowymi.
Niech będą to wartości x_i; i = 1,2,\dots przyjmowane z prawdopodobieństwami p_i; i = 1,2,\dots. Oczywiście p_i \ge 0; i = 1,2,\dots. Prawdopodobieństwa pi nazywamy skokami (lub masami), a wzór
P(X = x_i) = p_i, i = 1,2,\dots definiuje funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X typu skokowego. Oczywiście funkcja ta w pelni charakteryzuje rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej losowej. Oczywisty jest fakt, że związek tej funkcji z dystrybuantą określa wzór:
F(x) = \sum_{x_i<x}p_i
Zadanie
Wykreślić dystrybuantę odpowiadającą rzutowi sześciennej kostki
Definicja
Zmienną losową X nazywamy typu ciągłego (ale nie ciągłą), jeśli istnieje taka funkcja rzeczywista f(x) że dla każdego x zachodzi:
F(x) = \int\limits_{-\infty}^{x}f(x)dx
gdzie F(x) jest dystrybuantą zmiennej losowej X, a całkowanie odbywa się w sensie Lebesgue’a (Henri Lebesgue). Występującą w tym wzorze funkcję f(x) nazywamy funkcją gęstości prawdopodobieństwa (funkcją gęstości, gęstością) zmiennej losowej X typu ciągłego.
Uwagi:
  1. Jeśli zmienna losowa X nie ma punktów skokowych, to jej dystrybuantą jest funkcja ciągła. To jednak nie wystarcza do tego by była ona zmienną losową typu ciągłego (według powyższej definicji). By tak było wymagana jest absolutna (lub bezwzględna) ciągłość dystrybuanty.
  2. Wobec powyższego niektórzy autorzy definiują zmienne losowe ciągłe jako posiadające ciągłą dystrybuantę, a absolutnie (bezwzględnie) ciągłe jako posiadające bezwzględna (absolutnie) ciągłą dystrybuantę, czyli według naszej definicji zmienne losowe typu ciągłego.
Z definicji zmiennej losowej typu ciąglego oraz z definicji dystrybuanty wynika bezpośrednio poniższe twierdzenie.
Twierdzenie
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej typu ciągłego X, to funkcja rzeczywista całkowalna w sensie Lebesgue'a na osi (-\infty,\infty) i taka, że:
  1. f(x) \ge 0
  2. \int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = F(\infty) = 1
Łatwo też wykazać, że słuszne jest twierdzenie odwrotne:
Twierdzenie
Każda nieujemna funkcja rzeczywista f(x), całkowalna w sensie Lebesgue'a na osi(-\infty,\infty) oraz taka, że
\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = 1 jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa pewnej zmiennej losowej typu ciągłego.
Z powyższych stwierdzeń wynika, że funkcja gęstości prawdopodobieństwa f(x) w pełni charakteryzuje rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej typu ciągłego.
Z teorii całki Lebesgue'a wynika, że dla prawie wszystkich x (czyli z wyjątkiem zbioru miary Lebesque’a równej zero) zachodzi:
f(x) = \frac{d(F(x))}{d(x)}
W szczególności powyższy związek zachodzi dla każdego x, dla którego f(x) jest ciągła.
Zauważmy również, że dla zmiennej losowej X typu ciągłego
\bigwedge_{a < b}P(a \le X \le b) = F(b)-F(a) = \int\limits_{a}^{b}f(x)dx
Ponadto jeśli x0 jest wartością, dla której f(x) jest określona to
P(X = x_0) = \int\limits_{x_0}^{x_0}f(x)dx = 0.
Zatem z tego, że prawdopodobieństwo zdarzenia związanego ze zmienną losową typu ciągłego jest równe 0 nie wynika, że jest to zdarzenie niemożliwe (pomimo, że odpowiednie zdarzenie elementarne jest możliwe). Zdarzenie takie po prostu uznajemy za bardzo mało prawdopodobne. Analogicznie, przy tym samym założeniu o zmiennej losowej X P(X \ne x_o) = 1 pomimo, że odpowiednie zdarzenie nie jest pewne. O takim zdarzeniu mówimy, że jest prawie pewne.
Autor: o

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz

Subskrybuj: Komentarze do posta (Atom)