Metody Numeryczne: Procesy losowe

Proces stochastyczny - rodzina zmiennych losowych określonych na pewnej przestrzeni probabilistycznej o wartościach w pewnej przestrzeni mierzalnej. Najprostszym przykładem procesu stochastycznego jest wielokrotny rzut monetą: dziedziną funkcji jest zbiór liczb naturalnych (liczba rzutów), natomiast wartością funkcji dla danej liczby jest jeden z dwóch możliwych stanów losowania (zdarzenie), orzeł lub reszka. Nie należy mylić procesu losowego, którego wartości są zdarzeniami losowymi, z funkcją, która zdarzeniom przypisuje wartość prawdopodobieństwa ich wystąpienia (mamy wówczas do czynienia z rozkładem gęstości prawdopodobieństwa).
W praktyce dziedziną, na której zdefiniowana jest funkcja, jest najczęściej przedział czasowy (taki proces stochastyczny nazywany jest szeregiem czasowym) lub obszar przestrzeni (wtedy nazywany jest polem losowym). Jako przykłady szeregów czasowych można podać: fluktuacje giełdowe, sygnały, takie jak mowa, dźwięk i wideo, dane medyczne takie jak EKG i EEG, ciśnienie krwi i temperatura ciała, losowe ruchy takie jak ruchy Browna. Przykładami pól losowych są statyczne obrazy, losowe krajobrazy i układ składników w niejednorodnych materiałach.

Definicja

Niech $T$ będzie niepustym zbiorem, który będziemy dalej nazywać zbiorem indeksów, $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ będzie przestrzenią probabilistyczną oraz $(E, \mathfrak{M})$ będzie przestrzenią mierzalną. Rodzinę zmiennych losowych

$X=(X_t)_{t\in T}$ ,

to znaczy rodzinę funkcji $\mathcal{A}/\mathfrak{M}$ -mierzalnych nazywamy procesem stochastycznym. Przestrzeń $(E, \mathfrak{M})$ nazywamy przestrzenią fazową albo przestrzenią stanów procesu $X$ .
Często za zbiór $T$ przyjmuje się przedział $[0,\infty)$ lub zbiór liczb naturalnych, za $E$ zbiór liczb rzeczywistych, a za $\mathfrak{M}$ rodzinę $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ , to znaczy rodzinę borelowskich podzbiorów prostej.
Procesy stochastyczne, których zbiór indeksów jest przeliczalny nazywamy łańcuchami.

Metody Numeryczne

poniedziałek, 19 listopada 2012

Procesy losowe - stochastyczne

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz