poniedziałek, 26 listopada 2012

METODA MONTE CARLO - FILMIK

http://www.youtube.com/watch?v=QpmGYC3bmlw&feature=youtu.be
Autor: o Brak komentarzy:

STATYSTYKA MATEMATYCZNA - FILMIK

http://www.youtube.com/watch?v=t6EfBx202C8&feature=youtu.be
Autor: o Brak komentarzy:

poniedziałek, 19 listopada 2012

Procesy losowe - stochastyczne

Proces stochastyczny - rodzina zmiennych losowych określonych na pewnej przestrzeni probabilistycznej o wartościach w pewnej przestrzeni mierzalnej. Najprostszym przykładem procesu stochastycznego jest wielokrotny rzut monetą: dziedziną funkcji jest zbiór liczb naturalnych (liczba rzutów), natomiast wartością funkcji dla danej liczby jest jeden z dwóch możliwych stanów losowania (zdarzenie), orzeł lub reszka. Nie należy mylić procesu losowego, którego wartości są zdarzeniami losowymi, z funkcją, która zdarzeniom przypisuje wartość prawdopodobieństwa ich wystąpienia (mamy wówczas do czynienia z rozkładem gęstości prawdopodobieństwa).
W praktyce dziedziną, na której zdefiniowana jest funkcja, jest najczęściej przedział czasowy (taki proces stochastyczny nazywany jest szeregiem czasowym) lub obszar przestrzeni (wtedy nazywany jest polem losowym). Jako przykłady szeregów czasowych można podać: fluktuacje giełdowe, sygnały, takie jak mowa, dźwięk i wideo, dane medyczne takie jak EKG i EEG, ciśnienie krwi i temperatura ciała, losowe ruchy takie jak ruchy Browna. Przykładami pól losowych są statyczne obrazy, losowe krajobrazy i układ składników w niejednorodnych materiałach.

Definicja
Niech T będzie niepustym zbiorem, który będziemy dalej nazywać zbiorem indeksów, (\Omega, \mathcal{A}, P) będzie przestrzenią probabilistyczną oraz (E, \mathfrak{M}) będzie przestrzenią mierzalną. Rodzinę zmiennych losowych
X=(X_t)_{t\in T},
to znaczy rodzinę funkcji \mathcal{A}/\mathfrak{M}-mierzalnych nazywamy procesem stochastycznym. Przestrzeń (E, \mathfrak{M}) nazywamy przestrzenią fazową albo przestrzenią stanów procesu X.
Często za zbiór T przyjmuje się przedział [0,\infty) lub zbiór liczb naturalnych, za E zbiór liczb rzeczywistych, a za \mathfrak{M} rodzinę \mathcal{B}(\mathbb{R}), to znaczy rodzinę borelowskich podzbiorów prostej.
Procesy stochastyczne, których zbiór indeksów jest przeliczalny nazywamy łańcuchami.
Autor: o Brak komentarzy:

niedziela, 18 listopada 2012

Apoksymacja

Aproksymacja jest dziełem analizy numerycznej zajmującym się najbardziej ogólnymi zagadnieniami przybliżania funkcji, polegającymi na wyznaczaniu dla danej funkcji f(x) takich funkcji F(x),które w określonym sensie najlepiej przybliżają funkcję f(x).

Potrzeba przybliżenia danej funkcji inną funkcją pojawia się w wielu zadaniach. Może mieć np. zastosowanie przy obliczaniu funkcji standardowych lub wtedy, gdy funkcja f(x) jest zdefiniowana bardzo skomplikowanym wzorem. Jednym ze sposobów rozwiązania tego zadania jest przybliżanie funkcji f(x) sumami częściowymi ich rozwinięć w szeregi Taylora.

Zadania aproksymacyjne mogą być formułowane bardzo różnie, w zależności od przyjętego sposobu oszacowania błędów aproksymacji. Wyróżnia się trzy rodzaje aproksymacji:

  • aproksymację interpolacyjną
    •
  • aproksymację jednostajną
    •
  • aproksymację średniokwadratową
    •



    rysunek 5.6


    W przypadku aproksymacji interpolacyjnej, podobnie jak w zagadnieniu interpolacji, żądamy spełnienia warunku, aby funkcja dana f(x) i funkcja szukana F(x) przyjmowały dokładnie te same wartości na zbiorze z góry ustalonych punktów węzłowych. Warunek ten może być uzupełniony warunkami wyrażającymi równość pochodnych w węzłach, jeżeli wartości pochodnych zostaną zadane.







    W przypadku aproksymacji jednostajnej funkcję przybliżamy taką funkcją w całym przedziale [a,b]



    Twierdzenie Weierstrassa gwarantuje że zawsze można znaleźć wielomian o dowolnie małym odchyleniu od funkcji f(x) na przedziale [a,b]. Nie ma jednak ogólnej metody umożliwiającej znajdowanie wielomianu najlepszego przybliżenia jednostajnego stopnia n dla dowolnej funkcji ciągłej na [a,b].

    W przypadku aproksymacji średniokwadratowej jako miarę odchylenia funkcji od danej funkcji przyjmujemy wielkość




    zwaną odchyleniem kwadratowym. Funkcja aproksymująca wyznaczana jest z warunku, aby wartość wyrażenia była możliwie najmniejsza. Geometrycznie warunek ten wyraża żądanie, aby pole powierzchni między liniami reprezentującymi funkcję było minimalne.

    Zagadnienia aproksymacji jednostajnej i aproksymacji średniokwadratowej są również formułowane dla funkcji określonych na dyskretnym zbiorze argumentów. Dla takich funkcji warunek (5.61) dotyczący aproksymacji jednostajnej zmienia się w ten sposób, że zamiast ciągłej zmiennej niezależnej x występuje w nim zmienna dyskretna Xi.




    a w rachunku na minimum odchylenia kwadratowego całka jest zastępowana sumą




    Aproksymacja średniokwadratowa funkcji określonych na dyskretnym zbiorze argumentów jest najczęściej wykorzystywana w zastosowaniach praktycznych do wygładzania danych eksperymentalnych i wyników obliczeń ze względu na mniej skomplikowane algorytmy jej realizacji numerycznej w porównaniu z algorytmami aproksymacji jednostajnej i możliwość uzyskiwania dobrych przybliżeń funkcji f(x). W niektórych przypadkach istnieją przesłanki teoretyczne co do doboru postaci wzoru dla funkcji aproksymującej ( wskazując dostatecznie wąską klasę funkcji np. zbiór funkcji liniowych, potęgowych, wykładniczych itp. )- wtedy określamy tylko wartości liczbowe parametrów, przy których przybliżenie danej funkcji jest najlepsze.

    Aproksymacja średniokwadratowa wielomianami

    W zadaniach aproksymacji średniokwadratowej wielomianami funkcji aproksymującej F(x) wygodnie jest poszukiwać w postaci wielomianu uogólnionego





    będącego kombinacją liniową liniowo-niezależnych funkcji. Rozważając aproksymację średniokwadratową funkcji y=f(x) określonej na dyskretnym zbiorze argumentów współczynniki ai j=0,1...m funkcji (5.65) przyjmujemy tak , żeby funkcja






    osiągnęła wartość minimalną. Zgodnie z ogólnymi metodami rachunku różniczkowego funkcja osiąga minimum wtedy i tylko wtedy ,gdy znikają pochodne cząstkowe względem wszystkich zmiennych a0,a1...ai :




    Stąd otrzymujemy układ m+1 równań z m+1 niewiadomymi współczynnikami , z układem normalnym :


    (5.67)






    w którym wprowadzono skrócone oznaczenie




    Układ równań ma dokładne jedno rozwiązanie dla liniowo - niezależnego układu funkcji:



    Macierz współczynników jest macierzą symetryczną i dodatnio określoną. Dla układu funkcji bazowych tworzących ciąg wielomianów
    układ równań przyjmie postać:







    gdzie:








    Wielomian aproksymujący daną funkcję f(x) w sensie najmniejszych kwadratów




    powinien mieć stopień na tyle wysoki, aby dostatecznie przybliżał funkcję f(x), a jednocześnie mieć stopień wystarczająco niski, aby wielomian ten wygładzał błędy losowe np. z pomiarów. Jeśli m=n, to wielomian aproksymujący Qm(x) pokrywa się z wielomianem Lagrange'a dla układu punktów: x<0,x1, ... xm i S=0 wtedy . Wiadomo, że dla m=>6 układ jest układem źle uwarunkowanym, wskutek czego otrzymane wyniki mogą być bardzo zaburzone i nie nadawać się do praktycznego wykorzystania. Podobnie więc jak w przypadku interpolacji aproksymację średniokwadratową wielomianami potęgowymi można zastosować tylko dla małych wartości m. Trudności obliczeniowe związane z aproksymacją średniokwadratową za pomocą wielomianów wyższych stopni mogą być zmniejszone przy wykorzystaniu wielomianów ortogonalnych.
    Średniokwadratowa aproksymacja trygonometryczna

    W zagadnieniach , w których funkcja f(x) jest okresowa wygodnie jest taką funkcję aproksymować nie wielomianami algebraicznymi, a wielomianami trygonometrycznymi - tym bardziej, że ich odchylenia kwadratowe od funkcji f(x) jest najmniejsze w porównaniu z odchyleniami kwadratowymi dla innych wielomianów.
    Jeżeli funkcja f(x) o okresie jest określona na dyskretnym zbiorze punktów i dane punkty są równoległe, to korzystając z warunków ortogonalności zbioru funkcji:

                
    obliczamy współczynniki wielomianu trygonometrycznego


    Autor: o Brak komentarzy:

    poniedziałek, 12 listopada 2012

    Zmienne losowe - zadanie

     Zadanie:

    W wyniku długotrwałych obserwacji znana jest wariancja pomiarów pewnej wielkości,σ2 = 0,02. Ilu trzeba dokonać pomiarów tej wielkości, aby z prawdopodobieństwem \ge 0{,}99 średnia arytmetyczna otrzymanych wyników różniła się od wartości średniej o \le 0{,}1?
      
    Rozwiązanie:
    M_n = {1 \over n} \sum_{i=1}^nX_i - pomocnicza zmienna losowa wyrażająca średnią arytmetyczną wyników pomiarów
    mn = E(Mn) - wartość średnia wyników pomiarów
    \forall_{1 \le i \le n} D^2(X_i) = \sigma^2 - wariancja jednego pomiaru
    Z nierówności Czebyszewa wiemy, że:
    P(|M_n - m_n| \ge \mathcal{E}) \le {{D^2(M_n)} \over {\mathcal{E}^2}}
    Obliczamy brakującą wariancję:
    D^2(M_n) = D^2\left({1 \over n} \sum_{i=1}^n X_i\right) = {1 \over {n^2}}\sum_{i=1}^n D^2(X_i) = {\sigma^2 \over n}
    Po podstawieniu do nierówności:
    P(|M_n - m_n| \ge \mathcal{E}) \le {\sigma^2 \over {n {\mathcal{E}^2}}}
    Jako, że interesuje nas odwrona nierówność bierzemy dopełnienie prawdopodobieństwa:
    P(|M_n - m_n| < \mathcal{E}) \ge 1 - {\sigma^2 \over {n {\mathcal{E}^2}}}
    Z treści zadania wiemy, że dla \mathcal{E} = 0{,}1:
    P(|M_n - m_n| < \mathcal{E}) \ge 0{,}99
    Po podstawieniu:
    1 - {\sigma^2 \over {n {\mathcal{E}^2}}} = 0{,}99
    Po podstawieniu reszty zmiennych i przekształceniach uzyskujemy:
    n = 200
    Z czego wynika, że trzeba dokonać co najmniej 200 pomiarów








    Autor: o Brak komentarzy:
    Subskrybuj: Posty (Atom)