Metody Numeryczne: Zmienne losowe

Zadanie:

W wyniku długotrwałych obserwacji znana jest wariancja pomiarów pewnej wielkości,

σ 2 = 0,02

. Ilu trzeba dokonać pomiarów tej wielkości, aby z prawdopodobieństwem $\ge 0{,}99$ średnia arytmetyczna otrzymanych wyników różniła się od wartości średniej o $\le 0{,}1$ ?

Rozwiązanie:

$M_n = {1 \over n} \sum_{i=1}^nX_i$ - pomocnicza zmienna losowa wyrażająca średnią arytmetyczną wyników pomiarów

m n = E (M n)

- wartość średnia wyników pomiarów

$\forall_{1 \le i \le n} D^2(X_i) = \sigma^2$ - wariancja jednego pomiaru

Z nierówności Czebyszewa wiemy, że:

$P(|M_n - m_n| \ge \mathcal{E}) \le {{D^2(M_n)} \over {\mathcal{E}^2}}$

Obliczamy brakującą wariancję:

$D^2(M_n) = D^2\left({1 \over n} \sum_{i=1}^n X_i\right) = {1 \over {n^2}}\sum_{i=1}^n D^2(X_i) = {\sigma^2 \over n}$

Po podstawieniu do nierówności:

$P(|M_n - m_n| \ge \mathcal{E}) \le {\sigma^2 \over {n {\mathcal{E}^2}}}$

Jako, że interesuje nas odwrona nierówność bierzemy dopełnienie prawdopodobieństwa:

$P(|M_n - m_n| < \mathcal{E}) \ge 1 - {\sigma^2 \over {n {\mathcal{E}^2}}}$

Z treści zadania wiemy, że dla $\mathcal{E} = 0{,}1$ :

$P(|M_n - m_n| < \mathcal{E}) \ge 0{,}99$

Po podstawieniu:

$1 - {\sigma^2 \over {n {\mathcal{E}^2}}} = 0{,}99$

Po podstawieniu reszty zmiennych i przekształceniach uzyskujemy:

n = 200

Z czego wynika, że trzeba dokonać co najmniej 200 pomiarów

Metody Numeryczne

poniedziałek, 12 listopada 2012

Zmienne losowe - zadanie

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz