Metody Numeryczne
niedziela, 20 stycznia 2013
niedziela, 13 stycznia 2013
Teoria prawdopodobieństwa
Teoria prawdopodobieństwa – dział matematyki zajmujący się zdarzeniami losowymi.
Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem abstrakcyjnych pojęć
matematycznych stworzonych do opisu zjawisk, które nie są deterministyczne: zmiennych losowych w przypadku pojedynczych zdarzeń oraz procesów stochastycznych w przypadku zdarzeń powtarzających się (w czasie). Jako matematyczny fundament statystyki,
teoria prawdopodobieństwa odgrywa istotną rolę w sytuacjach, w których
konieczna jest analiza dużych zbiorów danych. Jednym z największych
osiągnięć fizyki dwudziestego wieku było odkrycie probabilistycznej natury zjawisk fizycznych w skali mikroskopijnej, co zaowocowało powstaniem mechaniki kwantowej.
Matematyczna teoria prawdopodobieństwa sięga swoimi korzeniami do analizy gier losowych podjętej w siedemnastym wieku przez Pierre de Fermata oraz Blaise Pascala. Z tego powodu, początkowo teoria prawdopodobieństwa zajmowała się niemal wyłącznie zjawiskami dyskretnymi i używała metod kombinatorycznych. Zmienne ciągłe zostały wprowadzone do teorii prawdopodobieństwa znacznie później. Za początek stworzenia współczesnej teorii prawdopodobieństwa powszechnie uważa się jej aksjomatyzację, której w 1933 dokonał Andriej Kołmogorow. Współczesna teoria prawdopodobieństwa jest ściśle związana z teorią miary.
Pomimo że wynik pojedynczego rzutu monetą lub kością do gry często z praktycznego punktu widzenia można uważać za nieprzewidywalny, jeżeli eksperyment taki powtórzony zostaje wielokrotnie, mogą pojawić się pewne prawidłowości i wzory statystyczne, które można badać i przewidzieć. Dwa przykłady takich prawidłowości, i kluczowe osiągnięcia rachunku prawdopodobieństwa, to prawo wielkich liczb oraz centralne twierdzenie graniczne.
Warunki (A1-A3) zostały sformułowane przez Kołmogorowa w roku 1933 jako aksjomaty teorii prawdopodobieństwa.
Matematyczny model doświadczenia losowego to trójka
gdzie jest prawdopodobieństwem, określonym na pewnym σ-ciele podzbiorów zbioru zdarzeń elementarnych . Trójkę tę nazywamy przestrzenią probabilistyczną
Matematyczna teoria prawdopodobieństwa sięga swoimi korzeniami do analizy gier losowych podjętej w siedemnastym wieku przez Pierre de Fermata oraz Blaise Pascala. Z tego powodu, początkowo teoria prawdopodobieństwa zajmowała się niemal wyłącznie zjawiskami dyskretnymi i używała metod kombinatorycznych. Zmienne ciągłe zostały wprowadzone do teorii prawdopodobieństwa znacznie później. Za początek stworzenia współczesnej teorii prawdopodobieństwa powszechnie uważa się jej aksjomatyzację, której w 1933 dokonał Andriej Kołmogorow. Współczesna teoria prawdopodobieństwa jest ściśle związana z teorią miary.
Pomimo że wynik pojedynczego rzutu monetą lub kością do gry często z praktycznego punktu widzenia można uważać za nieprzewidywalny, jeżeli eksperyment taki powtórzony zostaje wielokrotnie, mogą pojawić się pewne prawidłowości i wzory statystyczne, które można badać i przewidzieć. Dwa przykłady takich prawidłowości, i kluczowe osiągnięcia rachunku prawdopodobieństwa, to prawo wielkich liczb oraz centralne twierdzenie graniczne.
Definicja prawdopodobieństwa
Prawdopodobieństwem nazywamy dowolną funkcję o wartościach rzeczywistych, określoną na σ-ciele zdarzeń , spełniającą warunki:- (A1) dla każdego ;
- (A2) ;
- (A3) Jeśli oraz dla , to
Matematyczny model doświadczenia losowego to trójka
Wektory i wartości własne
Wektory i wartości własne – wielkości opisujące endomorfizm danej przestrzeni liniowej;
wektor własny przekształcenia można rozumieć jako wektor, którego
kierunek nie ulega zmianie po przyłożeniu do niego endomorfizmu; wartość
własna odpowiadająca temu wektorowi to skala podobieństwa tych wektorów.
Najczęściej przekształcenie liniowe wyraża się jako macierz, która działa na wektory; wówczas stosuje się nazwy wektor własny macierzy, wartość własna macierzy. W innych teoriach przekształcenia i elementy przestrzeni liniowej mogą mieć inne nazwy. Mówi się wtedy przykładowo o stanach własnych operatora, funkcjach własnych funkcjonału itp.
Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem zaś oznacza pewien jej endomorfizm, tzn. przekształcenie liniowe tej przestrzeni w siebie. Jeśli dla pewnego niezerowego wektora przestrzeni spełniony jest warunek
Danej wartości własnej operatora odpowiada zbiór
Często zakłada się, że jest ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolona, zaś na określona jest topologia liniowa. W zastosowaniach (np. równania różniczkowe) bada się często wartości własne operatorów liniowych określonych na przestrzeniach Banacha, Hilberta itp. W dalszej części artykułu będziemy zakładać ogólnie, że jest pewną przestrzenią Banacha, a jest ustalonym operatorem liniowym i ciągłym.
Najczęściej przekształcenie liniowe wyraża się jako macierz, która działa na wektory; wówczas stosuje się nazwy wektor własny macierzy, wartość własna macierzy. W innych teoriach przekształcenia i elementy przestrzeni liniowej mogą mieć inne nazwy. Mówi się wtedy przykładowo o stanach własnych operatora, funkcjach własnych funkcjonału itp.
Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem zaś oznacza pewien jej endomorfizm, tzn. przekształcenie liniowe tej przestrzeni w siebie. Jeśli dla pewnego niezerowego wektora przestrzeni spełniony jest warunek
Danej wartości własnej operatora odpowiada zbiór
Często zakłada się, że jest ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolona, zaś na określona jest topologia liniowa. W zastosowaniach (np. równania różniczkowe) bada się często wartości własne operatorów liniowych określonych na przestrzeniach Banacha, Hilberta itp. W dalszej części artykułu będziemy zakładać ogólnie, że jest pewną przestrzenią Banacha, a jest ustalonym operatorem liniowym i ciągłym.
Subskrybuj:
Posty (Atom)