Potrzeba przybliżenia danej funkcji inną funkcją pojawia się w wielu zadaniach. Może mieć np. zastosowanie przy obliczaniu funkcji standardowych lub wtedy, gdy funkcja f(x) jest zdefiniowana bardzo skomplikowanym wzorem. Jednym ze sposobów rozwiązania tego zadania jest przybliżanie funkcji f(x) sumami częściowymi ich rozwinięć w szeregi Taylora.
Zadania aproksymacyjne mogą być formułowane bardzo różnie, w zależności od przyjętego sposobu oszacowania błędów aproksymacji. Wyróżnia się trzy rodzaje aproksymacji:
rysunek 5.6
W przypadku aproksymacji
interpolacyjnej, podobnie jak w zagadnieniu interpolacji, żądamy
spełnienia warunku, aby funkcja dana f(x) i funkcja szukana F(x)
przyjmowały dokładnie te same wartości na zbiorze z góry ustalonych
punktów węzłowych. Warunek ten może być uzupełniony
warunkami wyrażającymi równość pochodnych w węzłach, jeżeli wartości
pochodnych zostaną zadane.
Twierdzenie
Weierstrassa gwarantuje że zawsze można znaleźć wielomian o dowolnie
małym odchyleniu od funkcji f(x) na przedziale [a,b]. Nie ma jednak
ogólnej metody umożliwiającej znajdowanie wielomianu najlepszego
przybliżenia jednostajnego stopnia n dla dowolnej funkcji ciągłej na
[a,b].
W przypadku aproksymacji średniokwadratowej jako miarę odchylenia funkcji od danej funkcji przyjmujemy wielkość
W przypadku aproksymacji średniokwadratowej jako miarę odchylenia funkcji od danej funkcji przyjmujemy wielkość
zwaną odchyleniem kwadratowym. Funkcja aproksymująca wyznaczana jest z
warunku, aby wartość wyrażenia była możliwie najmniejsza.
Geometrycznie warunek ten wyraża żądanie, aby pole powierzchni między
liniami reprezentującymi funkcję było minimalne.
Zagadnienia aproksymacji jednostajnej i aproksymacji średniokwadratowej są również formułowane dla funkcji określonych na dyskretnym zbiorze argumentów. Dla takich funkcji warunek (5.61) dotyczący aproksymacji jednostajnej zmienia się w ten sposób, że zamiast ciągłej zmiennej niezależnej x występuje w nim zmienna dyskretna Xi.
Zagadnienia aproksymacji jednostajnej i aproksymacji średniokwadratowej są również formułowane dla funkcji określonych na dyskretnym zbiorze argumentów. Dla takich funkcji warunek (5.61) dotyczący aproksymacji jednostajnej zmienia się w ten sposób, że zamiast ciągłej zmiennej niezależnej x występuje w nim zmienna dyskretna Xi.
a w rachunku na minimum odchylenia kwadratowego całka jest zastępowana sumą
Aproksymacja średniokwadratowa funkcji określonych na dyskretnym
zbiorze argumentów jest najczęściej wykorzystywana w zastosowaniach
praktycznych do wygładzania danych eksperymentalnych i wyników obliczeń
ze względu na mniej skomplikowane algorytmy jej realizacji numerycznej
w porównaniu z algorytmami aproksymacji jednostajnej i możliwość
uzyskiwania dobrych przybliżeń funkcji f(x). W niektórych przypadkach
istnieją przesłanki teoretyczne co do doboru postaci wzoru dla funkcji
aproksymującej ( wskazując dostatecznie wąską klasę funkcji np. zbiór
funkcji liniowych, potęgowych, wykładniczych itp. )- wtedy określamy
tylko wartości liczbowe parametrów, przy których przybliżenie danej
funkcji jest najlepsze.
Aproksymacja średniokwadratowa wielomianami
W zadaniach aproksymacji średniokwadratowej wielomianami funkcji
aproksymującej F(x) wygodnie jest poszukiwać w postaci wielomianu
uogólnionego
będącego kombinacją liniową liniowo-niezależnych funkcji.
Rozważając aproksymację średniokwadratową funkcji y=f(x) określonej na dyskretnym zbiorze argumentów współczynniki ai j=0,1...m funkcji (5.65) przyjmujemy tak , żeby funkcja
osiągnęła wartość minimalną. Zgodnie z ogólnymi metodami rachunku
różniczkowego funkcja osiąga minimum wtedy i tylko wtedy ,gdy znikają
pochodne cząstkowe względem wszystkich zmiennych a0,a1...ai :
Stąd otrzymujemy układ m+1 równań z m+1 niewiadomymi współczynnikami ,
z układem normalnym :
(5.67)
w którym wprowadzono skrócone oznaczenie
Układ równań ma dokładne jedno rozwiązanie dla liniowo - niezależnego układu funkcji:
Macierz współczynników jest macierzą symetryczną i dodatnio określoną.
Dla układu funkcji bazowych tworzących ciąg wielomianów
układ równań przyjmie postać:
gdzie:
Wielomian aproksymujący daną funkcję f(x) w sensie najmniejszych kwadratów
powinien mieć stopień na tyle wysoki, aby dostatecznie przybliżał
funkcję f(x), a jednocześnie mieć stopień wystarczająco niski, aby
wielomian ten wygładzał błędy losowe np. z pomiarów. Jeśli m=n, to
wielomian aproksymujący Qm(x) pokrywa się z wielomianem Lagrange'a dla układu punktów: x<0,x1, ... xm
i S=0 wtedy . Wiadomo, że dla m=>6 układ jest układem źle
uwarunkowanym, wskutek czego otrzymane wyniki mogą być bardzo zaburzone
i nie nadawać się do praktycznego wykorzystania. Podobnie więc jak w
przypadku interpolacji aproksymację średniokwadratową wielomianami
potęgowymi można zastosować tylko dla małych wartości m.
Trudności obliczeniowe związane z aproksymacją średniokwadratową za
pomocą wielomianów wyższych stopni mogą być zmniejszone przy
wykorzystaniu wielomianów ortogonalnych.
Średniokwadratowa aproksymacja trygonometryczna
W zagadnieniach , w których funkcja f(x) jest okresowa wygodnie jest
taką funkcję aproksymować nie wielomianami algebraicznymi, a
wielomianami trygonometrycznymi - tym bardziej, że ich odchylenia
kwadratowe od funkcji f(x) jest najmniejsze w porównaniu z odchyleniami
kwadratowymi dla innych wielomianów.
Jeżeli funkcja f(x) o okresie jest określona na dyskretnym zbiorze punktów i dane punkty są równoległe, to korzystając z warunków ortogonalności zbioru funkcji:
Jeżeli funkcja f(x) o okresie jest określona na dyskretnym zbiorze punktów i dane punkty są równoległe, to korzystając z warunków ortogonalności zbioru funkcji:
obliczamy współczynniki wielomianu trygonometrycznego
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz