Najczęściej przekształcenie liniowe wyraża się jako macierz, która działa na wektory; wówczas stosuje się nazwy wektor własny macierzy, wartość własna macierzy. W innych teoriach przekształcenia i elementy przestrzeni liniowej mogą mieć inne nazwy. Mówi się wtedy przykładowo o stanach własnych operatora, funkcjach własnych funkcjonału itp.
Niech
będzie przestrzenią liniową nad ciałem 
zaś 
oznacza pewien jej endomorfizm, tzn. przekształcenie liniowe tej przestrzeni w siebie. Jeśli dla pewnego niezerowego wektora 
przestrzeni spełniony jest warunek
jest pewnym skalarem, to nazywa się wektorem własnym, a nazywa się wartością własną przekształcenia 
Danej wartości własnej
operatora odpowiada zbiór
gdyż tworzy on domkniętą podprzestrzenią liniową przestrzeni 
Jej wymiar nazywa się wielokrotnością wartości własnej 
Często zakłada się, że
jest ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolona, zaś na określona jest topologia liniowa. W zastosowaniach (np. równania różniczkowe) bada się często wartości własne operatorów liniowych określonych na przestrzeniach Banacha, Hilberta itp. W dalszej części artykułu będziemy zakładać ogólnie, że jest pewną przestrzenią Banacha, a 
jest ustalonym operatorem liniowym i ciągłym.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz