Metody Numeryczne: Teoria prawdopodobieństwa

Teoria prawdopodobieństwa – dział matematyki zajmujący się zdarzeniami losowymi. Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem abstrakcyjnych pojęć matematycznych stworzonych do opisu zjawisk, które nie są deterministyczne: zmiennych losowych w przypadku pojedynczych zdarzeń oraz procesów stochastycznych w przypadku zdarzeń powtarzających się (w czasie). Jako matematyczny fundament statystyki, teoria prawdopodobieństwa odgrywa istotną rolę w sytuacjach, w których konieczna jest analiza dużych zbiorów danych. Jednym z największych osiągnięć fizyki dwudziestego wieku było odkrycie probabilistycznej natury zjawisk fizycznych w skali mikroskopijnej, co zaowocowało powstaniem mechaniki kwantowej.
Matematyczna teoria prawdopodobieństwa sięga swoimi korzeniami do analizy gier losowych podjętej w siedemnastym wieku przez Pierre de Fermata oraz Blaise Pascala. Z tego powodu, początkowo teoria prawdopodobieństwa zajmowała się niemal wyłącznie zjawiskami dyskretnymi i używała metod kombinatorycznych. Zmienne ciągłe zostały wprowadzone do teorii prawdopodobieństwa znacznie później. Za początek stworzenia współczesnej teorii prawdopodobieństwa powszechnie uważa się jej aksjomatyzację, której w 1933 dokonał Andriej Kołmogorow. Współczesna teoria prawdopodobieństwa jest ściśle związana z teorią miary.
Pomimo że wynik pojedynczego rzutu monetą lub kością do gry często z praktycznego punktu widzenia można uważać za nieprzewidywalny, jeżeli eksperyment taki powtórzony zostaje wielokrotnie, mogą pojawić się pewne prawidłowości i wzory statystyczne, które można badać i przewidzieć. Dwa przykłady takich prawidłowości, i kluczowe osiągnięcia rachunku prawdopodobieństwa, to prawo wielkich liczb oraz centralne twierdzenie graniczne.

Definicja prawdopodobieństwa

Prawdopodobieństwem nazywamy dowolną funkcję $\, P$ o wartościach rzeczywistych, określoną na σ-ciele zdarzeń $\mathcal{F} \subset 2^{\Omega}$ , spełniającą warunki:

(A1) $\, P(A) \ge 0$ dla każdego $\, A \in \mathcal{F}$ ;

(A2) $\, P(\Omega) = 1$ ;

(A3) Jeśli $\, A_n \in \mathcal{F},\; n\in\mathbb{N}$ oraz $A_i \cap A_j = \emptyset$ dla $\, i \neq j$ , to

$\, P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_i} \right) = \sum_{i=1}^{\infty}{P(A_i)}$ Warunki (A1-A3) zostały sformułowane przez Kołmogorowa w roku 1933 jako aksjomaty teorii prawdopodobieństwa.
Matematyczny model doświadczenia losowego to trójka
$\, (\Omega,\mathcal{F},P)$ gdzie $\, P$ jest prawdopodobieństwem, określonym na pewnym σ-ciele $\, \mathcal{F}$ podzbiorów zbioru zdarzeń elementarnych $\, \Omega$ . Trójkę tę nazywamy przestrzenią probabilistyczną

Metody Numeryczne

niedziela, 13 stycznia 2013

Teoria prawdopodobieństwa

Definicja prawdopodobieństwa

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz