poniedziałek, 3 grudnia 2012

Równania liniowe


Równanie liniowe z jedną niewiadomą


Równanie postaci ax + b = 0 (lub każde dające się sprowadzić do tej postaci), gdzie x jest niewiadomą oraz a i b są dowolnymi liczbami nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą. Liczby a i b nazywamy współczynnikami równania.
Rozwiązanie równania liniowego
Rozwiązaniem równania liniowego z jedną niewiadomą nazywamy każdą liczbę, która podstawiona w miejsce niewiadomej spełnia to równanie.
Równanie liniowe rozwiązujemy następująco
- niewiadomą przenosimy na jedną stronę równania, a liczby na drugą stronę równania,
- mnożymy lub dzielimy obie strony przez taką wartość tak, aby pozbyć się liczby przy niewiadomej x,
- przy przenoszeniu liczby lub niewiadomej na drugą stronę równania, zmieniamy jej znak na przeciwny.
Liczba rozwiązań równania liniowego zależy od wartości współczynników a i b
Założenia Postać równania Rozwiązanie Zbiór rozwiązań Nazwa równania
a ≠ 0 ax + b = 0 ba {ba} oznaczone
a = 0 i b = 0 0 · x = 0 każda liczba R tożsamościowe
a = 0 i b ≠ 0 0 · x + b = 0 brak Ø sprzeczne

Równania liniowe z dwiema niewiadomymi
Równanie postaci ax + by + c = 0, gdzie x jest niewiadomą oraz a, b, c są dowolnymi liczbami oraz a2 + b2 ≠ 0 nazywamy równaniem liniowym z dwiema niewiadomymi.

Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi x i y jest para (x0, y0) wtedy i tylko wtedy, gdy po podstawieniu do tego równania x0 w miejsce x oraz y0 w miejsce y otrzymuje się zdanie prawdziwe.
Równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi ma nieskończenie wiele rozwiązań. Obrazem graficznym (wykresem) zbioru rozwiązań równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest prosta.

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układ równań
a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2,
gdzie a1, a2, b1, b2 c1, c2 są dowolnymi liczbami przy czym a1 i a2 oraz b1 i b2 nie mogą być jednocześnie zerami nazywamy układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy każdą parę liczb (x, y), która spełnia jednocześnie oba równania układu. Liczba rozwiązań układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi zależy od wartości współczynników obu równań liniowych układu.
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może:
- mieć dokładnie jedno rozwiązanie, którym jest para liczb (układ oznaczony),
- mieć nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony),
- nie mieć rozwiązań (układ sprzeczny).
Interpretacja geometryczna układu równań liniowych.
Dla układu oznaczonego rozwiązaniem są współrzędne punktu przecięcia prostych o podanych równaniach,
Dla układu nieoznaczonego proste mają nieskończenie wiele punktów wspólnych (proste te się pokrywają)
Dla układu sprzecznego proste nie mają punktów wspólnych (są równoległe i rozłączne).

Metody rozwiązywania układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi.
Niech będzie dany układ równań a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2
Metoda podstawiania
Metoda polega na wyznaczeniu jednej niewiadomej z jednego z równań układu i podstawieniu wyznaczonej niewiadomej do drugiego równania. Uzyskujemy w ten sposób równanie liniowe z jedną niewiadomą. Wyznaczoną z tego równania niewiadomą podstawiamy do drugiego równania i otrzymujemy wartość drugiej niewiadomej.
Metoda przeciwnych współczynników
Metoda ta polega na pomnożeniu równań układu przez odpowiednio dobrane liczby, tak aby po dodaniu równań stronami otrzymać równanie z jedną niewiadomą.
Metoda graficzna
Metoda ta polega na wykreśleniu w prostokątnym układzie współrzednych wykresu (linii prostej) każdego równania układu i odczytaniu współrzednych punktów wspólnych dla obu prostych.
Jeżeli dwie proste są równoległe i nie mają punktów wspólnych, to układ równań nie ma rozwiązania, jeżeli natomiast równania układu opisują tę samą prostą, to rozwiązaniem układu równań są współrzędne wszystkich punktów należących do tej prostej - jest ich nieskończenie wiele.
Metoda wyznaczników
Metoda wyznaczników polega na wyznaczeniu tzw. wyznaczników i na podstawie ich wartości przeprowadzeniu analizy rozwiązań układu równań.

Wyznacznik utworzony ze współczynników przy niewiadomych nazywamy wyznacznikiem głównym i oznaczamy przez W.
W=|a1b1a2b2|=a1·b2b1·a2
W podobny sposób wyliczamy wyznaczniki pomocnicze Wx i Wy, w których kolumnę współczynników przy niewiadomych zastępujemy odpowiednio przez kolumnę wyrazów wolnych:
Wx=|c1b1c2b2|=c1·b2b1·c2
Wy=|a1c1a2c2|=a1·c2c1·a2
Analiza otrzymanych rozwiązań:

Jeżeli W ≠ 0, to układ równań jest oznaczony i ma dokładnie jedno rozwiązanie:
x=WxW     y=WyW.

Jeżeli W = 0 oraz Wx ≠ 0 lub Wy ≠ 0, to układ równań jest sprzeczny.

Jeżeli W = 0 i Wx = 0 i Wy = 0, to układ równań jest nieoznaczony.

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz