poniedziałek, 17 grudnia 2012

Podstawy teorii weryfikacji hipotez statystycznych

Podstawowe pojęcia

Weryfikacja hipotez parametrycznych

Przykład

Należy dokonać oceny partii pudelek zapalek liczącej 100 tys. sztuk. dostawca twierdzi, że w pudelku znajdują się przecietnie 54 zapalki. Zweryfikować hipotezę H0(m = m0 = 54). Ponieważ nie znamy rozkładu liczby zapałek w pudełkach w populacji generalnej, a mozemy łatwo pobrać próbę >= 30 możemy wieć w przybliżeniu skorzystać z rozkładu normalnego. Zkaldamy, że przy próbie o wielkości n = 100 odnotowano średnią arytmetyczną mn = 51,21 natomiast σn' = 2,54. Weryfikujemy przy poziomie istotności α = 0,02 ponieważ obraliśmy dużą próbę wiec \sigma_{M_n} \approx {{\sigma_n'} \over { \sqrt{n}}} = 0{,}245. Musimy zatem wyznaczyć t dla ktorego P \left ( {{|M_n-m_0|} \over {\sigma_{M_n}}} \ge t \right ) = 0{,}02
Definiujemy unormowaną zmienną Y:
Y={{M_n-m_0} \over {\sigma_{M_n}}}
podstawiamy do wzoru
P(|Y| \ge t) = 0{,}02
Z własności bezwzględnej wartości:
P[(Y \ge t) \vee (Y \le -t)] = 0{,}02
P(Y \ge t)+P(Y \le -t) = 0{,}02
Ponieważ funkcja gęstości jest dla rozkładu N(0,1) parzysta to zachodzi równość:
P(Y \ge t) = P(Y \le -t)
2P(Y \ge t) = 0{,}02
P(Y \ge t) = 0{,}01
Wiadomo, że P(A) to to samo co 1-P(A') więc:
1 − P(Y < t) = 0,01
P(Y < t) = 0,99
A P(Y<x) to dystrybuanta - czyli F(x):
F(t) = 0,99
Teraz w tablicy rozkładu normalnego znajdujemy najmniejszą wartość t dla której F(t) wynosi conajmniej 0,99. Jest to wartość 2,33.
Hipotezę H0 należy wiec odrzucić na poziomie istotności α jeżeli |M_n - 54| \ge t \cdot 0{,}245, w przeciwnym wypadku przy zadanej istotności α = 0,02 nie możemy ani potwierdzić hipotezy, ani jej odrzucić.
Zgodnie z naszymi danymi wychodzi:
| Mn − 54 | = | 51,21 − 54 | = 2,79
\sigma_{M_n} \cdot t = 0{,}245 \cdot 2{,}33 = 0{,}57085
Więc:
| M_n - 54 | \ge \sigma_{M_n} \cdot t
2{,}79 \ge 0{,}57085
Zatem hipotezę możemy odrzucić (jeśli wyjdzie odwrotnie to piszemy że nie odrzucamy ani nie potwierdzamy - tak właśnie trzeba było zrobić na egzaminie, bo wychodziło <).
Autor: o

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz

Subskrybuj: Komentarze do posta (Atom)